偏差値と統計学

こんばんは。namakemonoです。
本日のテーマは「偏差値です。」

偏差値とは?

偏差値とは「平均50、標準偏差10に標本変数を規格化したもの」です。
テストによる平均点や点数の散らばりの違いを考慮した数値で、別のテストとの比較が可能になります。
(簡単なテストで80点をとるのと、難しいテストで80点を取るのでは難易度が変わりますよね?テストの難易度によらず評価する尺度が偏差値です。)


分布は以下のようになります。
・偏差値60以上(あるいは40以下)は、全体の15.866%。
・偏差値70以上(あるいは30以下)は、全体の2.275%。
・偏差値80以上(あるいは20以下)は、全体の0.13499%。
・偏差値90以上(あるいは10以下)は、全体の0.00315%。
・偏差値100以上(あるいは0以下)は、全体の0.00002%。
Wikipediaより

Rで偏差値を求めるには?

偏差値を求める関数は存在しないため、自分で定義する必要があります。
【参考】:偏差値の求め方

calcStandScore<-function(x,m,s){ #x:自分の得点 #m:平均点 #s:標準偏差 result <- 0 result = 50 + 10*((x-m)/s) return (result) }


シミュレーションしてみた。。。

自分の得点を変化させて、偏差値がどのように変化するのかを確かめてみます。
【前提条件】
・一様分布で0~100点の範囲で乱数を発生させる。
・対象は1000人とする。

> 平均<-mean(round(runif(1000)*100)) > 平均
[1] 49.821
> 標準偏差<-sd(round(runif(1000)*100)) > 標準偏差
[1] 28.40974
> result30<-calcStandScore(30,平均,標準偏差) > result50<-calcStandScore(50,平均,標準偏差) > result70<-calcStandScore(70,平均,標準偏差) > result100<-calcStandScore(100,平均,標準偏差) > resultSet<-data.frame(result30,result50,result70,result100) > resultSet
result30 result50 result70 result100
1 43.02317 50.06301 57.10285 67.66261



平均点が約50点ですが、仮に30点にした場合、どうなるでしょう?

> 平均<-30 > 平均
[1] 30
> 標準偏差
[1] 28.40974
> result30<-calcStandScore(30,平均,標準偏差) > result50<-calcStandScore(50,平均,標準偏差) > result70<-calcStandScore(70,平均,標準偏差) > result100<-calcStandScore(100,平均,標準偏差) > resultSet<-data.frame(result30,result50,result70,result100) > resultSet
result30 result50 result70 result100
1 50 57.03984 64.07968 74.63944

平均点が下がると、偏差値が大きくなりますね。


では、標準偏差を小さくしたらどのようになるでしょうか?

> 平均<-49.821 > 標準偏差<-5 > result30<-calcStandScore(30,平均,標準偏差) > result50<-calcStandScore(50,平均,標準偏差) > result70<-calcStandScore(70,平均,標準偏差) > result100<-calcStandScore(100,平均,標準偏差) > resultSet<-data.frame(result30,result50,result70,result100) > resultSet
result30 result50 result70 result100
1 10.358 50.358 90.358 150.358

得点による偏差値の開きが大きくなりましたね。


つまり、平均点が低い場合、偏差値は全体的に大きくなります。
標準偏差が大きいと、得点による偏差値の開きが大きくなり、標準偏差が小さくなると、得点による偏差値の開きが小さくなります。

最後に

学生の時はあまり偏差値の計算方法など気にしていませんでしたが、
今回のシミュレーションで、平均点や標準偏差によってどのように変動するのかがわかりました。
もし身近な数字で気になるものがありましたら、ぜひ教えてください。

ではでは。


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